【学习笔记】无向图的连通性
割点
定义： 在无向图连通图中，若把点 \(x\) 删去后整个图就不连通了，则 \(x\) 为割点（割顶）。
朴素方法： 每次删去一个点，然后判断图是否连通，时间复杂度为 \(O(n(n+m))\)。
Tarjan 算法：
\(dfn_x\)：\(x\) 被 dfs 到的时间戳
\(low_x\)：在 \(x\) 及以后被搜索的所有节点的 \(low\) 值和这些节点能到达的节点的 \(dfn\) 的最小值。
算法流程：
- 从 \(1\) 号点开始遍历全图，对于遍历到的点 \(x\)，记录它的 \(dfn_x\) 并将 \(low_x\) 的值赋为 \(dfn_x\)。
- 接下来遍历 \(x\) 的所有子儿子 \(y\)：
- 若 \(y\) 被访问过，则 \(low_x=\min(low_x,dfn_y)\)。
- 若 \(y\) 没有被访问过，则先遍历 \(y\)，接着 \(low_x=\min(low_x,low_y)\)。
算法原理：
若点 \(x\) 不为割点，把所有没被访问过 \(y\) 放在 \(x\) 的“下方”，则必存在一条边从 \(y\) 连到 \(x\) 的“上方”且这条边在 \(x\) 的“右边”（不然应该先访问到这条边，或者说访问顺序在 \(x\) 之后），按照 \(low\) 数组的定义，则所以的 \(y\) 都满足 \(low_y<dfn_x\)。
相反，若 \(x\) 为割点，则必有 \(low_y\ge dfn_x\)（注意，这里有等于号，因为若连到自己则仍为割点）。
特例： 若 \(x\) 为根节点，则肯定存在 \(low_y\ge dfn_x\)，判断不出割点，需要特判一下：如果 \(x\) 连接的联通块个数 \(\ge 2\)，则其断开后这几个联通块会分开，则 \(x\) 为割点。
void tarjan(int k, int rt) {
int cnt = 0;
dfn[k] = low[k] = ++s;
for (auto i : p[k]) {
if (!dfn[i]) {
cnt++;
tarjan(i, rt);
low[k] = min(low[k], low[i]);
if (k != rt && low[i] >= dfn[k]) {
if (!flag[k]) ans++;
flag[k] = true;
}
}
else low[k] = min(low[k], dfn[i]);
}
if (k == rt && cnt > 1) {
if (!flag[k]) ans++;
flag[k] = true;
}
}
时间复杂度：\(O(n+m)\)
割边
定义： 在无向连通图中，若删去某条边，这个图就不连通了，则称这条边是割边（桥）。
Tarjan 算法：
求割边的算法与求割点的算法差不多，只是如果一条从 \(x\) 到 \(y\) 的边为割边，则 \(y\) 不存在边能到 \(y\) 节点及其“上方”，即存在 \(y\) 使 \(low_y>dfn_x\)（这里和割点有所区别）。
代码实现时要注意，这里的边是双向边，为了每条边只访问一次，可以使用邻接链表来存图，这样在边表中一条边 \(e\) 的反向边为 \(e\oplus1\)，注意这样存图边的编号得从 \(2\) 开始。
void tarjan(int k) {
int cnt = 0;
dfn[k] = low[k] = ++s;
for (int i = head[k]; i; i = e[i].nxt) {
if (vis[i]) continue;
vis[i] = vis[i ^ 1] = true;
if (!dfn[e[i].to]) {
tarjan(e[i].to);
low[k] = min(low[k], low[e[i].to]);
if (low[e[i].to] > dfn[k])
bri[i] = bri[i ^ 1] = true;
}
else low[k] = min(low[k], dfn[e[i].to]);
}
}
时间复杂度：\(O(n+m)\)
点双连通分量（v-Dcc）
定义： 无向图中极大的（不能往外扩张）不存在割点的连通图（割点是指“局部”的割点），其任意两点之间都存在不经过重复点的两条路径。
性质： 一个割点可以存在于多个点双连通分量中，非割点只能存在于一个点双连通分量中，否则其就不是“分量”。
求法： 同样是 Tarjan 算法，不过要开一个栈记录：遍历到 \(x\) 时便把 \(x\) 压入栈，若 \(x\) 为割点，则它通过当前点“吊”着的所有点都弹出（\(x\) 不弹出），而 \(x\) 则是由“吊”着它的点弹出。有个注意点，到 \(y\) 时只应弹出 \(y\) 吊着的这一串，而不是把 \(x\) 吊的所有点都弹出。
特例： 当 \(x\) 为孤立点时，它自成一个点双连通分量。
void tarjan(int k) {
q.push(k);
dfn[k] = low[k] = ++s;
int sum = 0;
for (auto i : p[k]) {
if (!dfn[i]) {
sum++;
tarjan(i);
low[k] = min(low[k], low[i]);
if (low[i] >= dfn[k]) {
cnt++;
int t;
do {
t = q.top();
ans[cnt].push_back(q.top());
q.pop();
}while (t != i);
ans[cnt].push_back(k);
}
}
else low[k] = min(low[k], dfn[i]);
}
if (k == rt && sum == 0) ans[++cnt].push_back(k);
}
时间复杂度：\(O(n+m)\)
边双连通分量
定义： 无向图中极大的（不能往外扩张）不存在割边的连通图，其任意两点之间都存在不经过重复边的两条路径。
性质： 割边可以不存在于任何边双连通分量中，非割边只能存在于一个边双连通分量中。
求法： 由于边双连通分量中不包含割边，那么就可以先跑一遍 Tarjan 标记出割边，然后 dfs，不经过割边跑出的联通块就是边双连通分量。
//省略 Tarjan 函数
void dfs(int k)
{
ans[sum].push_back(k);
vis[k] = true;
for (int i = head[k]; i; i = e[i].nxt)
{
if (bri[i]) continue;
int v = e[i].to;
if (!vis[v]) dfs(v);
}
}
练习题
SP2878 KNIGHTS - Knights of the Round Table
洛谷 P3469 [POI2008] BLO-Blockade