KMeans算法与GMM混合高斯聚类
一、K-Means
K-Means是GMM的特例(硬聚类,基于原型的聚类)。假设多元高斯分布的协方差为0,方差相同。
K-Means算法思想
对于给定的样本集,按照样本之间的距离大小,将样本集划分为K个簇。让簇内的点尽量紧密的连在一起,而让簇间的距离尽量的大。
N个d维样本,时间复杂度 O(kLNd)
- 初始K个类(簇心)
- E步:对每个样本,计算到K个类的欧式距离,并分配类标签 O(kNd)
- M步:基于类内的样本,以样本均值更新类(均值最小化,类到类内样本的误差) O(Nd)
- 重复2-3步,直到聚类结果不变化或收敛
迭代次数为L
收敛性证明:
聚类处理:
特征归一化,缺失值,异常值
K-Means的主要优点有:
1)基于原型的聚类,实现简单收敛速度快。
2)聚类效果较优。
3)算法的可解释度比较强。
4)主要需要调参的参数仅仅是簇数k。
K-Means的主要缺点有:
1)K值的选取不好把握
2)对于不是凸的数据集比较难收敛
3)如果各隐含类别的数据不平衡,比如各隐含类别的数据量严重失衡,或者各隐含类别的方差不同,则聚类效果不佳。
4) 采用迭代方法,得到的结果只是局部最优(本身是个NP-hard问题,组合优化,多项式系数)
5) 对噪音和异常点比较的敏感。
# 基于Cursor生成的代码 import numpy as np def k_means(X, k, max_iters=100): # randomly initialize centroids centroids = X[np.random.choice(range(len(X)), k, replace=False)] for i in range(max_iters): # calculate distances between each point and each centroid distances = np.sqrt(((X - centroids[:, np.newaxis])**2).sum(axis=2)) # assign each point to the closest centroid labels = np.argmin(distances, axis=0) # update centroids to be the mean of the points assigned to them for j in range(k): centroids[j] = X[labels == j].mean(axis=0) return centroids, labels d = 3 k = 3 X = np.random.rand(100, 3) centroids, labels = k_means(X, k, max_iters=100) import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure(figsize=(10, 7)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], X[:, 2], c=labels, cmap='viridis') ax.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], centroids[:, 2], marker='*', s=300, c='r') ax.set_xlabel('X Label') ax.set_ylabel('Y Label') ax.set_zlabel('Z Label') plt.show()
二、GMM
⾼斯分布的线性组合可以给出相当复杂的概率密度形式。
通过使⽤⾜够多的⾼斯分布,并且调节它们的均值和⽅差以及线性组合的系数,⼏乎所有的连续概率密度都能够以任意的精度近似。
对3个高斯分布的概率密度函数进行加权。考虑K个⾼斯概率密度的叠加,形式为:
混合⾼斯(mixture of Gaussians),每⼀个⾼斯概率密度N (x | µk, Σk)被称为混合分布的⼀个成分(component),并且有⾃⼰的均值µk和协⽅差Σk。
具有3个成分的混合⾼斯分布的轮廓线。参数πk被称为混合系数。GMM
可把πk = p(k)看成选择第k个成分的先验概率, 把 密度N (x | µk, Σk) = p(x | k)看成以k为条件的x的概率。
⾼斯混合分布的形式由参数π, µ和Σ控制,其中令π ≡ {π1, . . . , πK}, µ ≡
{µ1, . . . , µK}且Σ ≡ {Σ1, . . . , Σk}。⼀种确定这些参数值的⽅法是使⽤最⼤似然法。根据公式),对数似然函数为:
因为对数中存在⼀个求和式,导致参数的最⼤似然解不再有⼀个封闭形式的解析解:
- ⼀种最⼤化这个似然函数的⽅法是使⽤迭代数值优化⽅法。
- 另⼀种是使⽤EM期望最⼤化算法(对包含隐变量的似然进行迭代优化)。
样本x为观测数据,混合系数为隐变量,高斯分布的参数。
当成分为多元高斯分布时(d维),相当于从混合多元高斯分布中生成了样本,通过EM算法迭代地学习模型参数(均值和方差以及混合系数)。
- 期望:根据参数,更新样本关于类的响应度(隶属度,相当于分别和K个类计算距离并归一化)。确定响应度,就可以确定EM算法的Q函数(完全数据的对数似然关于 分布的期望),原始似然的下界。
- 最大化:根据响应度,计算均值、方差。
EM算法收敛后,直接求每个样本关于成分的响应度即可得到聚类结果(可软,可硬argmax)
当多元高斯分布的方差相同时,且每个样本只能指定给一个类时(one-hot响应度,argmax),GMM退化成K-means算法。
import numpy as np from sklearn import datasets import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.mixture import GaussianMixture from sklearn.cluster import KMeans # 创建数据,并可视化 X, y = datasets.make_blobs(n_samples=1500, cluster_std=[1.0, 2.5, 0.5], random_state=170) plt.figure(figsize=(12,4)) plt.rcParams['font.family'] = 'STKaiti' plt.rcParams['font.size'] = 20 plt.subplot(1,3,1) plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c = y) plt.title('原始数据',pad = 20)
kmeans = KMeans(3) kmeans.fit(X) y_ = kmeans.predict(X) plt.subplot(1,3,2) plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c = y_) plt.title('KMeans聚类效果',pad = 20)
GMM高斯混合模型聚类
gmm = GaussianMixture(n_components=3) y_ = gmm.fit_predict(X) plt.subplot(1,3,3) plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c = y_) plt.title('GMM聚类效果',pad = 20) plt.figtext(x = 0.51,y = 1.1,s = 'KMeans VS GMM',ha = 'center',fontsize = 30) plt.savefig('./GMM高斯混合模型.png',dpi = 200)
优点:
- 可以完成大部分形状的聚类
- 大数据集时,对噪声数据不敏感
- 对于距离或密度聚类,更适合高维特征
缺点:
- 计算复杂高,速度较慢
- 难以对圆形数据聚类
- 需要在测试前知道类别的个数(成分个数,超参数)
- 初始化参数会对聚类结果产生影响
参考
2. PRML