最长上升子序列 II
题目描述
给定一个长度为 N 的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数,表示完整序列。
输出格式
输出一个整数,表示最大长度。
数据范围
1 ≤ N ≤100000
-10^9 ≤ 数列中的数 ≤ 10^9
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例:
4
算法1
(DP) O(n^2)
动态规划状态转移
时间复杂度
O(n^2)
,数据范围10^5
会TLE
空间复杂度
dont know
C++ 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
a[0] = - 1e9;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 0; j < i; j ++)
if(a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
int res = -1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);
cout << res;
return 0;
}
算法2
(利用单调栈的思路优化) O(nlogn)
贪心思路:较小的数作为的子序列结尾 比 较大的数子序列的结尾 更好
q[i]
存的是长度为i的上升子序列的第i位的值。
枚举时查看当前元素a[i]
能够插入到哪个子序列的末尾,根据贪心想法插入的一定是子序列结尾元素q[i]
严格小于当前元素a[i]
的子序列。
时间复杂度
二分logn,枚举n 时间复杂度nlogn
空间复杂度
dont know
C++ 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N], q[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
int len = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int l = 0, r = len;
while(l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len, r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
cout << len;
return 0;
}
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