「代码随想录算法训练营」第五十天 | 图论 part8

拓扑排序

拓扑排序概括来说就是给出一个有向无环图,把这个有向无环图转成线性的排序,就叫拓扑排序。

使用广度优先搜索(BFS)即可。

如上图,当我们做拓扑排序的时候,优先找入度为0的节点,只有入度为0,它才是出发节点。

拓扑排序的过程:

  1. 找到入度为0的节点,加入结果集。
  2. 将该节点从图中移除。

循环以上两步,直到所有节点都在图中被移除了。

结果集的顺序,就是我们想要的拓扑排序顺序(结果集里顺序可能不唯一)

模拟过程:

判断有环:

这个图,我们只能将入度为0的节点0接入结果集。

之后,节点1、2、3、4形成了环,找不到入度为0的节点了,所以此时结果集里只有一个元素。

那么如果我们发现结果集元素个数不等于图中节点个数,我们就可以认定图中一定有有向环!

题目:117. 软件构建

题目链接:https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1191
文章讲解:https://www.programmercarl.com/kamacoder/0117.软件构建.html
题目状态:看题解

思路:

使用拓扑排序。

代码:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>

using namespace std;

int main()
{
    int m, n, s, t;
    cin >> n >> m;
    vector<int> isDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
    unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系
    vector<int> result; // 结果集

    while(m--)
    {
        // s->t,先有s才能有t
        cin >> s >> t;
        isDegree[t]++; // t的入度加一
        umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
    }
    queue<int> que;
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        // 入度为0的文件,可以作为开头,先加入队列
        if(isDegree[i] == 0) que.push(i);
    }

    while(que.size())
    {
        int cur = que.front(); // 当前选中的文件
        que.pop();
        result.push_back(cur);
        vector<int> files = umap[cur]; // 获取该文件指向的文件
        if(files.size()) // cur有后续文件
        {
            for(int i = 0; i < files.size(); ++i)
            {
                isDegree[files[i]]--; // cur的指向的文件入度-1
                if(isDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
            }
        }
    }

    if(result.size() == n)
    {
        for(int i = 0; i < n - 1; ++i) cout << result[i] << " ";
        cout << result[n - 1];
    }
    else
        cout << -1 << endl;
    return 0;
}

dijkstra(朴素版)

dijkstra算法:在有权图(权值非负数)中求从起点到其他节点的最短路径算法。

需要注意两点:

  • dijkstra算法可以同时求起点到所有节点的最短路径。
  • 权值不能为负数。

dijkstra算法和prim算法的计算过程非常类似:

  1. 第一步,选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
  2. 第二步,该最近节点被标记访问过
  3. 第三步,更新非访问节点到源点的距离(即更新minDist数组)

其中minDist数组用来记录每一个节点距离源点的最小距离。

模拟过程:

题目:47. 参加科学大会

题目链接:https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1047
文章讲解:https://www.programmercarl.com/kamacoder/0047.参会dijkstra朴素.html
题目状态:看题解

思路:

dijkstra算法。

代码:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

using namespace std;

int main()
{
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
    for(int i = 0; i < m; ++i)
    {
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
    }

    int start = 1;
    int end = n;

    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    // 记录顶点是否被访问过
    vector<bool> visited(n + 1, false);

    minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0

    // 初始化路径数组
    vector<int> parent(n + 1, -1);

    // 遍历所有节点
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int minVal = INT_MAX;
        int cur = 1;

        // 1.选距离源点最近且未访问过的节点
        for(int v = 1; v <= n; ++v)
        {
            if(!visited[v] && minDist[v] < minVal)
            {
                minVal = minDist[v];
                cur = v;
            }
        }

        // 2.标记该节点已被访问
        visited[cur] = true;

        // 3.更新非访问节点到源点的距离(即更新minDist数组)
        for(int v = 1; v <= n; ++v)
        {
            if(!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v])
            {
                minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
                parent[v] = cur; // 记录边
            }
        }
    }

    // 不能到达终点
    if(minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
    // 到达终点最短路径
    else cout << minDist[end] << endl;

    // 输出最短情况
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << parent[i] << "->" << i << endl;

    return 0;
}

dijkstra算法和prim算法的区别

  • prim是求非访问节点到最小生成树的最小距离
  • dijkstra是求非访问节点到源点的最小距离

dijkstra(堆优化版)

上一节的dijkstra算法是从节点的角度来遍历的,这一节的dijkstra算法我们从边的角度来遍历分析,且采用邻接表来存储图。邻接表表示一个有向有权图如下:

其中:

  • 节点1指向节点3,权值为1
  • 节点1指向节点5,权值为2
  • 节点2指向节点4,权值为7
  • 节点2指向节点3,权值为6
  • 节点2指向节点5,权值为3
  • 节点3指向节点4,权值为3
  • 节点5指向节点1,权值为10

dijkstra算法思路三部曲:

  1. 第一步,选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
  2. 第二步,该最近节点被标记访问过
  3. 第三步,更新非访问节点到源点的距离(即更新minDist数组)

其中第一步我们要选择距离源点近的节点(即:该边的权值最小),所以我们需要一个小顶堆来帮我们对边的权值排序,每次从小顶堆堆顶去边就是权值最小的边。

因此在堆优化版本的dijkstra算法的三部曲中:

  1. 第一步:不用for循环去遍历,直接取堆顶元素
  2. 第二步:将节点做访问标记
  3. 第三步:和朴素dijkstra算法一样

题目:47. 参加科学大会

题目链接:https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1047
文章讲解:https://www.programmercarl.com/kamacoder/0047.参会dijkstra朴素.html
题目状态:看题解

思路:

使用堆优化版本的dijkstra算法。

代码:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>

using namespace std;

// 小顶堆
class mycomparison
{
public:
    bool operator()(const pair<int, int> &lhs, const pair<int, int> &rhs)
    {
        return lhs.second > rhs.second;
    }
};

// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge
{
    int to; // 邻接顶点
    int val; // 边的权重
    Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};

int main()
{
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<list<Edge>> grid(n + 1);

    for(int i = 0; i < m; ++i)
    {
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1指向p2,权值为val
        grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
    }

    int start = 1; // 起点
    int end = n; // 终点

    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    // 记录顶点是否被访问过
    vector<bool> visited(n + 1, false);

    // 优先级队列中存放pair<节点, 源点到该节点的权值>
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;

    // 初始化队列,源点到源点的距离为0,所以初始为0
    pq.push(pair<int, int>(start, 0));

    // 起始点到自身的距离为0
    minDist[start] = 0;

    while(!pq.empty())
    {
        // 1.第一步,选源点到哪个节点近且该节点未被访问过(通过优先级队列来实现)
        // <节点, 源点到该节点的距离>
        pair<int, int> cur = pq.top();
        pq.pop();

        if(visited[cur.first]) continue;

        // 2.第二步,该最近节点被标记访问过
        visited[cur.first] = true;

        // 3.第三步,更新非访问节点到源点的距离(即更新minDist数组)
        for(Edge &edge : grid[cur.first])
        {
            // 遍历cur指向的节点,cur指向的节点为edge
            // cur指向的节点edge.to,这条边的权值为edge.val
            if(!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to])
            {
                // 更新minDist
                minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
                pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
            }
        }
    }
    // 不能到达终点
    if(minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
    // 到达终点最短路径
    else cout << minDist[end] << endl;
}