《小 学 组 合 数 学》
嗯，这就是小学难度，起码我学这些东西的时候我是个小学生
线性求逆元
这个玩意要分两块讲，\(p\) 是模数。
线性求 \(1 \sim N\) 的逆元
对于一个 \(i\)：
\[\text{设} a = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor, \ b = p \bmod i,
\]
\[ai + b \equiv 0 \pmod p,
\]
\[\frac{i}{b} + \frac{1}{a} \equiv 0 \pmod p \ (\text{两边除以} \ ab)
\]
\[\frac{i}{b} \equiv - \frac{1}{a} \pmod p
\]
\[\frac{b}{i} \equiv -a \pmod p
\]
\[bi^{-1} \equiv -a \pmod p
\]
\[i^{-1} \equiv -ab^{-1} \pmod p
\]
然后递推。
线性求任意 \(N\) 个数的逆元（注意到它可以用来求阶乘的逆元）
首先我们求出 \(N\) 个数的前缀积，记作 \(pre\)。
定义 \(inv_i\) 为 \(pre_i\) 的逆元。
然后我们求出 \(inv_N\)。
最后我们利用逆元的性质，\(inv_i = inv_{i+1}a_{i+1}\)。
对于第 \(i\) 个数，它的逆元是 \(inv_{i} \times pre_{i-1}\)（\(pre_0 = 1\)）。
本质不同排列
整体减空白。
分苹果
Section 1：正整数
假设我们有 \(N\) 个一样的苹果，要分给 \(M\) 个人。他们都饿了，所以每一个人至少要有一个苹果。求分法。
我们把 \(N\) 个苹果排成一排，有 \(N - 1\) 个空隙。苹果都是一样的，本质是在这 \(N - 1\) 个空隙中插入 \(M - 1\) 个板子（形成 \(M\) 个区间第， \(i\) 个区间给第 \(i\) 个人），答案总数是 \(\dbinom{N - 1}{M - 1}\)。
Section 2：非负整数
还是苹果，还是人，但这次这些苹果是点心，所以有些人可以没有苹果。仍然求分法。
一个空隙里面可以插上多个苹果，怎么办呢？
我们拿 \(M\) 个反物质苹果过来（假设我们到达了无限），然后问题就转化成了 Section 1。
方案数是 \(\dbinom{N + M - 1}{M - 1}\)。
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