三门问题与贝叶斯公式
三门问题
一个抽奖节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面有汽车，其余两扇没有，选中有汽车的那扇门就可以赢得该汽车。首先参与者从三扇门中选择一扇，接着主持人会故意打开一扇没有车的门，并询问参与者是否要更改自己的选项。请问更改选项和不更改选项哪个的中奖概率更高？
这是一个很容易犯错的问题，许多人会忽略题目中隐藏的一个重要信息——主持人事先知道哪扇门后面有车、哪扇门后面没车。
定义 \(A, B\) 两个事件：
- \(A\)：参与者选择的是有车的门。
- \(B\)：主持人打开的是没有车的门。（主持人事先知道门后面有无车，故意打开无车的门）
不更改选项的中奖概率为 \(P(A|B)\)，使用贝叶斯公式可知
\[P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}.
\]
由于主持人事先知道门后面有无车，并且总是会故意选择一扇没有车的门打开，因此有
\[\begin{aligned}
& P(B|A) = 1, P(B|\overline{A}) = 1, \\
& P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A) = \frac{1}{3}, \\
& P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 1,
\end{aligned}
\]
不更改选项的中奖概率为 \(P(A|B) = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}\)，更改选项的中奖概率为 \(1 - P(A|B) = \frac{2}{3}\)，可见更改选项的中奖概率更高。
变种的三门问题
接下来看一个变种的三门问题：如果主持人事先不知道门后的情况，是随机开门的，请问更改选项和不更改选项哪个的中奖概率更高？
这里我们将 \(B\) 事件的定义修改为：主持人打开的是没有车的门。（主持人不知道门后的情况，随机开门）
此时有
\[\begin{aligned}
& P(A) = \frac{1}{3}, \\
& P(AB) = P(A)P(B|A) = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2} = \frac{1}{3}, \\
& P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3},
\end{aligned}
\]
不更改选项的中奖概率为 \(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\)，更改选项的中奖概率为 \(1 - P(A|B) = \frac{1}{2}\)，二者的中奖概率相同。