二分查找图解
二分查找图解
使用二分查找的前提是所给的元素集合必须是单调的。
注意：本文图文并茂
将提供以下图文链接供大家理解：
图文链接：
飞书图解链接🎉🎉🎉
密码：2k851&54
整数二分
查找最后一个小于等于q的元素的下标
模板代码，展开查看
int last(int q){
int l = -1, r = n;
while(l + 1 < r){
int mid = l + r >> 1;
if(a[mid] <= q) l = mid;
else r = mid;
}
return l;
}
元素存在
返回对应元素的下标
元素不存在
返回最大小于该元素的元素的下标
查找第一个大于等于q的元素的下标
模板代码，展开查看
int first(int q){
int l = -1, r = n;
while(l + 1 < r){
int mid = l + r >> 1;
if(a[mid] >= q) r = mid;
else l = mid;
}
return r;
}
元素存在
返回对应元素的下标
元素不存在
返回最小大于该元素的元素的下标
习题一
AC代码，展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n, m, q;
int first(int q){ // 局部变量覆盖全局变量
int l = -1, r = n;
while(l + 1 < r){
int mid = l + r >> 1;
if(a[mid] >= q) r = mid;
else l = mid;
}
return a[r] == q ? r : -1;
}
int last(int q){ // 局部变量覆盖全局变量
int l = -1, r = n;
while(l + 1 < r){
int mid = l + r >> 1;
if(a[mid] <= q) l = mid;
else r = mid;
}
return a[l] == q ? l : -1;
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
while(m -- ){
scanf("%d", &q);
printf("%d %d\n", first(q), last(q));
}
return 0;
}
浮点数二分
最大化查找模板：
模板代码，展开查看
double find(double y){
double l = -22, r = 22;
while(r - l > pre){
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid <= y){
l = mid;
}else{
r = mid;
}
}
return l;
}
最小化查找模板：
模板代码，展开查看
double find(double y){
double l = -22, r = 22;
while(r - l > pre){
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid >= y){
r = mid;
}else{
l = mid;
}
}
return r;
}
习题一
最大化AC代码，展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pre = 1e-8;
double find(double y){
double l = -22, r = 22;
while(r - l > pre){
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid <= y){
l = mid;
}else{
r = mid;
}
}
return l;
}
int main(){
double n;
cin >> n;
printf("%.6lf", find(n));
return 0;
}
最小化AC代码，展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pre = 1e-8;
double find(double y){
double l = -22, r = 22;
while(r - l > pre){
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid >= y){
r = mid;
}else{
l = mid;
}
}
return r;
}
int main(){
double n;
cin >> n;
printf("%.6lf", find(n));
return 0;
}
习题二
AC代码，展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N];
int n, m, q;
int first(int q){ // 局部变量覆盖全局变量
int l = -1, r = n;
while(l + 1 < r){
int mid = l + r >> 1;
if(a[mid] >= q) r = mid;
else l = mid;
}
return a[r] == q ? r + 1 : -1;
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
while(m -- ){
scanf("%d", &q);
printf("%d ", first(q));
}
return 0;
}
习题三
AC代码，展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pre = 1e-4;
double a, b, c, d;
double f(double x){ // 函数f(x)
return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
}
double find(double l, double r){
while(r - l > pre){
double mid = (l + r) / 2;
if(f(mid) * f(r) < 0) l = mid;
else r = mid;
}
return l;
}
int main(){
cin >> a >> b >> c >> d;
for(int i = -100; i < 100; i ++ ){
double y1 = f(i), y2 = f(i + 1); // (-100, -99], (-99, -98], ..., (99, 100]: 排除根为100的情况
if(!y2) printf("%.2lf ", i + 1.0); // 有可能该点正好是根
if(y1 * y2 < 0) printf("%.2lf ", find(i, i + 1)); // 否则在(i, i + 1)区间二分根
}
return 0;
}
高效的牛顿法
牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数\(f(x)\)的泰勒级数的前面几项来寻找方程\(f(x)=0\)的根。
1. 方法说明
首先，选择一个接近函数\(f(x)\)零点的\(x_{0}\)，计算相应的\(f(x_0)\)和切线斜率\(f'(x_0)\)（这里\(f'\)表示函数\(f\)的导数）。然后我们计算穿过点\((x_{0},f(x_{0}))\)并且斜率为\(f'(x_0)\)的直线和\(x\)轴的交点的\(x\)坐标，也就是求如下方程的解：
$$
{\displaystyle 0=(x-x_{0})\cdot f'(x_{0})+f(x_{0})}
$$
我们将新求得的点的\(x\)坐标命名为\(x_1\)，通常\(x_1\)会比\(x_{0}\)更接近方程\(f(x)=0\)的解。因此我们现在可以利用\(x_1\)开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：
$$
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}
$$
已有证明牛顿迭代法的二次收敛必须满足以下条件：
\(f'(x)\neq 0\); 对于所有\(x\in I\)，其中\({\displaystyle I}\)为区间\([α − r, α + r]\)，且\(x_{0}\)在区间其中\(I\)内，即 \(r\geqslant \left|a-x_{0}\right|\)的;
对于所有\({\displaystyle x\in I}\)，\(f''(x)\)是连续的;
\(x_{0}\)足够接近根 \(α\)。
2. 案例
第一个案例：
求方程\(\cos(x)-x^{3}=0\)的根。令\(f(x)=\cos(x)-x^{3}\)，两边求导，得\(f'(x)=-\sin(x)-3x^{2}\)。由于\(-1\leq \cos(x)\leq 1(\forall x)\)，则\(-1\leq x^{3}\leq 1\)，即\(-1\leq x\leq 1\)，可知方程的根位于\(0\)和\(1\)之间。我们从\({\displaystyle x_{0}=0.5}\)开始。
第二个案例：
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。
求\(a\)的\(m\)次方根。
\(x^{m}-a=0\)
设\(f(x)=x^{m}-a\)，\(f'(x)=mx^{m-1}\)
而\(a\)的\(m\)次方根，亦是\(x\)的解，
以牛顿法来迭代：
（或 $$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{m}}\left(x_{n}-a{\frac {x_{n}}{x_{n}^{m}}}\right)$$）
3. 应用
求解最值问题
牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零，故可用牛顿法求导函数的零点，其迭代式为
求拐点的公式以此类推
引例：
用牛顿法求解平方根：
如果要求\(S(S>1)\)的平方根，选取\(1 < x_{0} < S\)
例子：求\(\sqrt {125348}\)至6位有效数字。
因此$$\sqrt{125348} \approx 354.045$$
代码实现：
package main
import (
"fmt"
)
func main() {
// 求S = 125348的平方根
// 1. 选取1 < x0 < S
// x0 = 3^6 = 729.00
// 2. 迭代5次
var S float64 = 125348
var x float64 = 729
for i := 0; i < 5; i ++ {
x = 1 / 2.0 * (x + S / x)
}
fmt.Printf("x: %v\n", x)
}
结论:
不难看出
等价于：
在数学上是等价的，在计算机上\(x^2\)会超过int所表示的范围，变成+Inf
将\(x^2\)，变为\(2x^2 - x^2\)，然后化简得
我们来推导出这个公式：
-
设\(f(x) = x^2 - c \ (c \neq 0)\), \(f'(x) = 2x\), \(f''(x) = 2\)
-
证明二次收敛:
\(f'(x)\neq 0\); 对于所有\(x\in I\)，其中\({\displaystyle I}\)为区间\([1, c]\)，设近似根为\(x_0\)，且\(x_{0}\)在区间\(I\)内;
对于所有\({\displaystyle x\in I}\)，\(f''(x)\)是连续的;
\(x_{0}\)足够接近根 \(α\), \(α\)是实际的根。 -
根据定义将\(x_0\)，代入
- 因为二次收敛，所以等式两边除以\(f'(x_{0})\)，然后移项得
- 则可以得到其迭代公式
- 代入求解得
推导完毕！
有了以上基础，下面就非常简单了
为了练习函数与循环，我们来实现一个平方根函数：用牛顿法实现平方根函数。
计算机通常使用循环来计算 \(x\) 的平方根。从某个猜测的值 \(z\) 开始，我们可以根据 \(z^2\) 与 \(x\) 的近似度来调整 \(z\)，产生一个更好的猜测：
重复调整的过程，猜测的结果会越来越精确，得到的答案也会尽可能接近实际的平方根。
在提供的 func Sqrt 中实现它。无论输入是什么，对 z 的一个恰当的猜测为 1。 要开始，请重复计算 10 次并随之打印每次的 z 值。
观察对于不同的值 \(x(1、2、3 ...)\) ， 你得到的答案是如何逼近结果的，猜测提升的速度有多快。
提示：用类型转换或浮点数语法来声明并初始化一个浮点数值：
z := 1.0
z := float64(1)
然后，修改循环条件，使得当值停止改变（或改变非常小）的时候退出循环。观察迭代次数大于还是小于 10。 尝试改变 z 的初始猜测，
如 x 或 x/2。你的函数结果与标准库中的 math.Sqrt 接近吗？
（注： 如果你对该算法的细节感兴趣，上面的 z² − x 是 z² 到它所要到达的值（即 x）的距离， 除以的 2z 为 z² 的导数，
我们通过 z² 的变化速度来改变 z 的调整量。 这种通用方法叫做牛顿法。 它对很多函数，特别是平方根而言非常有效。）
平方根函数
package main
import (
"fmt"
"math"
)
func Sqrt(x float64) float64 {
// z最好在 1 < z < 2 内取值
z := 1.5 // 迭代四次就够了
for i := 0; i < 4; i ++ {
z -= (z * z - x) / (2 * z)
fmt.Println(z)
}
return z
}
func main() {
fmt.Println(Sqrt(2))
fmt.Println("================")
fmt.Println(math.Sqrt(2))
}
同理再实现一个立方根函数
package main
import (
"fmt"
)
func subtriplicate(x float64) float64 {
z := 1.0
for i := 0; i < 10; i ++ {
z = z - z / 3.0 + x / (3.0 * z * z);
}
return z
}
func main() {
fmt.Printf("subtriplicate(7): %v\n", subtriplicate(7))
}
总结：牛顿法收敛速度是二次方级别的，比二分法快多了
习题一
AC代码，展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double cube(double x){
double z = 1;
for(int i = 0; i < 18; i ++ ){
z = z - z / 3.0 + x / (3.0 * z * z);
}
return z;
}
int main(){
double x;
cin >> x;
printf("%.6lf", cube(x));
return 0;
}
本文参考自【董晓算法的个人空间-哔哩哔哩】
海纳百川，有容乃大！如果文章有什么不足之处，还请大神们评论区留言指出，我在此表达感谢🥰！若大家喜欢我的作品，欢迎点赞、收藏、打赏🎉🎉🎉！