归并排序求逆序对的数量

一、原题链接

二、题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 \(i\) 个和第 \(j\) 个元素，如果满足 \(i < j\) 且 \(a[i] > a[j]\)，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)，表示数列的长度。

第二行包含 \(n\) 个整数，表示整个数列。

输出格式

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围

\(1 ≤ n ≤ 100000，\)
数列中的元素的取值范围 \([1, 10^9]\)。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1 

输出样例：

5 

三、算法思路

本题基于归并排序的过程。

思路如下：

1. 先将区间分为两段

2. 满足逆序对条件的两个点有如下三种情况：

   1. 两个点都在左区间
   2. 两个点都在右区间
   3. 一个点在左边区间，一个点在右边区间

3. 不断的递归排序的过程中，上述 \(1、2\) 情况都会转化为 \(3\) 的情况，所以答案直接加上左区间排序和右区间排序即可

4. 由于归并之后两个区间都是有序的，所以如果当前左区间的数大于当前右区间的数，则左区间剩下的所有数都大于当前右区间的数，即满足逆序对的条件，res += mid - i + 1;

• 如果直接暴力解题，从后往前遍历，时间复杂度\(O(n^2)\)，采用归并排序解题时间复杂度为\(O(nlogn)\)。
• 注意思考上述三种情况，在不断划分区间的过程中，最后都会转化为第三种情况。
• 数据量很大可能会爆int，所以用long long来存答案。

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

typedef long long LL;

int n;
int a[N];
int tmp[N];

LL merge_sort(int a[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return 0;
    
    int mid = (l + r) >> 1;
    LL res = merge_sort(a, l, mid) + merge_sort(a, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (a[i] <= a[j])   tmp[k ++ ] = a[i ++ ];
        else    res += mid - i + 1, tmp[k ++ ] = a[j ++ ];
    while (i <= mid)    tmp[k ++ ] = a[i ++ ];
    while (j <= r)  tmp[k ++ ] = a[j ++ ];
    
    for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j)    a[i] = tmp[j];
    
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    
    cout << merge_sort(a, 0, n - 1) << endl;
    
    return 0;
}

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