Set Concept

集合(Set)就是一种用来装事物的容器(或者称为结构),它所装的东西叫元素。集合这个容器的逻辑性很强,可以说是现在比较严谨的工具。

集合里的元素,它们可以是任何类型的数学对象:数字、符号、变量、空间中的点、线、面,甚至是其他集合,当然它也可以不是数学对象,一些其他事物。

规定:

  • 元素通常用 a, b, c, d, x等小写字母来表示;

  • 集合通常用A, B, C, D, X等大写字母来表示。 一些大写字母已经约定俗成的表示某类数,比如Q是有理数,R是实数,C是复数,I是虚数...

集合的表示

集合的表示无非是想给这个容器定义好边界、大小,让人能一眼看出它里面能装多少个多大、多小的数字。
常见的表示方式:

  • 描述法
    可以用文字描述,比如: A = 大于零的前三个自然数
    也可以用数学符号描述,比如: A = {x|x>0 且 x<4}
  • 列举法
    直接罗列出来,比如:{1,2,3}

集合的三特性

集合概念众多,但是它的三特性必须得记住:

  • 无序性:集合中的元素没有特定的顺序,集合中的元素之间没有先后之分。
  • 互异性:集合中的元素是互不相同的,即集合中不会出现重复的元素
  • 确定性:对于任意一个元素,要么它属于集合,要么它不属于集合,不存在模棱两可的情况。

元素与集合的关系

元素与集合的关系只有两种,不存在其他模棱两可的情况:

  • 属于 ∈
  • 不属于 ∉

集合间的关系

集合与集合之间的基本关系只有两种:

  • 相等 =
  • 包含
  • 真包含

基于集合间的关系,衍生出一些集合的概念,我们逐个来了解一下:

  • 空集 ∅ 、 {}
    就是说这个集合里面什么都不包含;

  • 子集 (Subset)


    符号类似 A ≤ B

  • 真子集(Proper Subset)

    举例理解真子集:
    假设有两个集合A = {1, 2} 和 B = {1, 2, 3}。

    A是B的子集,因为A中的所有元素(1和2)都属于B。
    A不是B的真子集,因为A和B相等,即 A = B。
    B是A的真子集,因为B包含了A中的所有元素,并且还有额外的元素3。

  • 等集

  • 超集(Superset)
    超集是指包含一个或多个集合的集合。如果集合A的所有元素也同时属于集合B,那么集合B被称为集合A的超集。

    超集和真子集的区别?
    真子集是一个更严格的概念,它要求除了包含集合A的所有元素外,还必须存在至少一个额外的元素不属于A。
    而超集仅要求包含集合A的所有元素,没有限制其他元素的存在。

  • 全集(Universal Set)
    全集是指在特定上下文中涵盖了所有讨论范围内元素的集合。
    全集通常用符号U表示。在不同的领域和问题中,会改变符号代称。

  • 幂集(Power Set)
    幂集是指一个集合所有子集的集合。换句话说,给定一个集合A,幂集P(A)是由A的所有可能子集所构成的集合。

    例如,对于集合A = {1, 2},它的幂集P(A)包含以下子集:
    P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
    其中,∅表示空集,{1}表示只包含元素1的子集,{2}表示只包含元素2的子集,{1, 2}表示包含元素1和元素2的子集。

集合间的运算

  • 并集 ∪

  • 交集 ∩

  • 补集

  • 差集

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