《高等代数》白皮书，例1.4，爪形行列式
刚刚值完班，人很疲惫，也不太想动，所以想写写东西。工作以来，遇到许多事情，各种鸡零狗碎。唯一能让人保持清醒的就是《数学分析》和《高等代数》。所有的事物都会骗人，就数学不会。
If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.
von Neumann
在我看来，von Neumann确实说的特别对。最近看了谢启鸿老师的《高等代数》（第四版），也就是是数学系同学们传说中的白皮书，也就是下面这本，目前这本是最新版的：
书中的题目很多其实挺难的。笔者打算阅读该书过程中，遇到的一些题目的解法的详细过程分享出来。在数学领域，从不奢望有太大的建树，但是希望能多学一些，多一些见识。在Cnblogs上写下，也当做是生活中的一种记录。
在第7页，例1.4中，有一题：
（爪行行列式）计算n阶行列式，其中ai≠0 (2≤i≤n)：
\[{\huge \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_n}}\\
{{c_2}}&{{a_1}}&0& \cdots &0\\
{{c_3}}&0&{{a_3}}& \cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
{{c_n}}&0&0& \cdots &{{a_n}}
\end{array}} \right|} \]
这题中，加了条件ai≠0 (2≤i≤n)，因此题目解起来很容易：从第2列开始直到第n列，把第i列(2≤i≤n) 乘以并加到第一列上，这样的话，第一列的c1, c2, .. , cn都被消去成0，即：
\[{\huge \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}{\rm{ - }}\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{{{b_i}{c_i}}}{{{a_i}}}} }&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_n}}\\
0&{{a_1}}&0& \cdots &0\\
0&0&{{a_3}}& \cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots &{}& \vdots \\
0&0&0& \cdots &{{a_n}}
\end{array}} \right|} \]
那么上述行列式化为上三角行列式，其结果为对角线元素的乘积：
\[{\huge \begin{array}{l}
\left| A \right| = ({a_1}{\rm{ - }}\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{{{b_i}{c_i}}}{{{a_i}}}} ){a_2}{a_3} \cdots {a_n}\\
\;\;\;\;\; = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_n}\; - \;\sum\limits_{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}
\end{array}} \]
（其中表示${\hat a_i}$不在∑后面的连乘式中）；
本来解到这儿，已经算是松口气了。但是原题目后面后面还有一个Remark：
“去掉条件ai≠0 (2≤i≤n)，我们仍可以求出：
\[{\huge \left| A \right| = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_n}\; - \;\sum\limits_{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}}\]
”
具体的做法是谢老师也给出，“例如ai=0，则先按ci所在的行进行展开，再按bi所在的列进行展开，即得出结论”。当时看到这儿觉得挺神奇的，ai=0的话，也可以得出ai≠0一样的结论，尝试着进行推导，算了很久，也没算出来，终于在一个不眠之夜算出来了。
设某个ai=0（只有一个）：
\[{\Large \begin{array}{l}
{a_i} = 0,\forall j = i,{a_j} \ne 0\\
\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_{i - 1}}}&{{{\color{Red} b_i} }}&{{b_{i + 1}}}& \cdots &{{b_n}}\\
{{c_2}}&{{a_2}}&0&0&0&0&0&0&0\\
{{c_3}}&0&{{a_3}}&0&0&0&0&0&0\\
\vdots &0&0& \vdots &0&0&0&0&0\\
{{c_{i - 1}}}&0&0&0&{{a_{i - 1}}}&0&0&0&0\\
{{{\color{Red} c_i} }}&0&0&0&0&{{a_i}}&0&0&0\\
{{c_{i + 1}}}&0&0&0&0&0&{{a_{i + 1}}}&0&0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
{{c_n}}&0&0&0&0&0&0&0&{{a_n}}
\end{array}} \right|
\end{array}} \]
上述的|A|确实很复杂，按书本上的提示，则先按ci所在的行进行展开，再按bi所在的列进行展开。其中，很关键的一个是按bi所在的列展开，bi是i-1列，而不是第i列，要不然算到猴年马月，都算不出来。依上述所示，那么原行列式等于：
\[{\Large \begin{array}{l}
\left| A \right| = {( - 1)^{i + 1}}{c_i}{( - 1)^{1 + i - 1}}{b_i}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_2}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{{a_3}}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}& \cdots &{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{{a_{i - 1}}}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{{a_{i + 1}}}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \cdots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{a_n}}
\end{array}} \right|\\
\;\;\;\;\; = - {c_i}{b_i}{a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}
\end{array}} \]
注意上述最后的结果，可以写成：
\[{\LARGE \begin{array}{l}
\left| A \right| = \; - {a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i}\\
\;\;\;\; = \;\;({a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{\color{Red} 0} {a_{i + 1}} \cdots {a_n})\;\;\\
\;\;\;\;\;\;\; - ({a_3}{a_4} \cdots {a_{i - 1}}{\color{Red} 0} {a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\;\\
\;\;\;\;\;\;\; - \cdots - ({a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\;\\
\;\;\;\;\; = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_n}\; - \;\sum\limits_{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}
\end{array}} \]
QED.
上述是在某一个ai=0的情况下算出来的，如果有多个ai=0的情况，那计算过程可能有点不太一样。有空再写一下，今晚先告一段落。虽然会失眠，但还是要让自己睡下去。