学习抽象概念案例，虚数和复数
从哲学角度思考虚拟的东西有必要吗？
人类可能是唯一一个能够构想出不存在的事物的物种，这个能力对我们来讲非常重要。
说实话，虚数其实不好理解，因为这个数是之前的数学家虚构、想象出来的。那么这种虚构的数一定是抽象的，就像我们说的负数，你就很难说它存在或者不存在，当你说“我有-1个苹果”，那么这个-1在现实生活中其实是毫无意义的，现实中我们看不见也摸不着的这-1个苹果，但是你也能接受-1这个数的概念的存在，没有觉得-1这个数字它是不存在的，或者对它的存在性质疑。
在我们生活的世界里，还存在着大量的构想出来的东西。比如早期的人类要靠宗教崇拜团结起来，虽然最后一起去打仗，去探险的都是人，但是要没有宗教，人和人直接沟通，达不到团结的目的（前一阵读到一则材料也提到，原始人的团结协作就是需要语言发挥共同想象的能力，也就是“讲故事”的能力，比如“山的那一边有一片果树林”等等，而现代社会的很多实体虚体其实也是人们的“共同想象”，比如国家、民族、货币、公司、工会等等，这就是人和动物的本质区别之一 Image）。
虽然现在的人不太需要宗教了，但是很多虚拟的概念已经深入我们人心，比如法律、有限公司、法人团体等概念便是如此，它们在自然界中并不存在，只是人们脑子里构建出的概念，但是如果没有它们，我们这个社会就运行不下去。当我们习惯于使用这些虚构的概念后，就会自然而然的把它们真实化，感觉和真的一样，甚至可以达到不可或缺的程度。
今天，衡量一个人认知水平的一个方法，就是要看他接受虚拟概念的能力有多强，如果他只停留在看得见摸得着的东西，这个人的水平就不是很高。我们经常说那些只知道买房置地，收藏奢侈品的人是土财主、暴发户，其实也是这个道理。
其次，虚数的出现，标志着人类对数这个概念认识的进步，特别是从形象思维到抽象思维的进步。
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化学中的催化剂
我们知道，催化剂在化学反应完成前后是不改变的，它只是起到一个媒介的作用，但是没有它，化学反应要么特别慢，要么干脆进行不下去。 -
法律学的概念——法人
我们不妨看一个法律学的概念——法人，在早期的罗马法中，提出了法律主体的概念，它最初只涉及到自由人，后来因为要处理经济纠纷，就把一些机构看成是法律的主体，当作人一样看待，这就是法人概念的来源。这些法人，其实就相当于数学中所说的虚数的概念。
我们今天和一个公司打官司，其实在打官司的过程中接触到的还是人，但是你不会去告里面某个具体的人，而是针对这个虚构出的组织。当你打赢这个官司后，是里面具体的人执行对你的赔偿，但是你拿到的赔偿却是法人这个机构给你的。这就如同解方程时，我们需要借助于虚数，才能得到实数的解一样。
但是实话实说，虚数确实不是必要的：
认为虚数很“虚”很没有“存在感”的另一原因似乎是，在生活中人们好像的确用不到虚数。比如，我们描述今天吃了几个苹果？今天的温度，车子的奔跑速度...我们都用不到虚数。
而且它与我们的感官不相符，复数可以像向量一样有方向，这就与人们印象中的数字(量)不大一样。
所以，在某些特定的物理场合，我们使用虚数，那是因为虚数有适合的规则，尽管引用虚数很方便，但归根到底这只是一种数学工具罢了，并且这个工具不是唯一的，可以用其它数学工具去替换这个工具。
总结：当遇到有需求的场景，just use it.
虚数就是一次新突破———虚轴（旁轴）
首先恭喜你，如果你之前不了解虚数和复数的话，那你现在马上就要突破一次思维的限制，就类似刚刚在初中学习到负数时的震撼。
如果说负数是在实数轴的左边，那虚数就是衡数轴中多了一个虚拟竖轴，
那么从找 x^2+1=0 方程解的过程来看，发现在实数轴上找不到解，但在复平面上却可以找到函数的解，只不过，这两个解落在了实数轴以外。这个拓展出来的虚轴（高斯叫它旁轴），是一个新的维度，我们只能说虚数存在在了一个拓展出的维度中，一个看似抽象但是可以被我们想象到的维度中。
怎么用图形表示？
这个所谓的虚轴，确实比较考验想象力，受自身认知的局限性，我也是看了半天才理解（本人较为愚钝），但是如果我们能打破自身刻板的思维，尤其是习惯用复平面思考问题后，我们可能就会对复数的实在性有一个新的认识，得到一次对自身认证的突破机会。
最后提升一下，还是在于多使用，多练，脑子就能处理得轻松一些。
学习建议
- 把焦点放在「关系」上，而不是数学公式；
- 将复数视为对现有数字系统的一次升级，就像曾经的 0、小数以及负数升级了当时的数字系统那样；
- 通过视觉图表而不是文本来理解概念；
- 虚数的使用类似求圆的面积公式，A=πr^2 , 你可以不用懂这个π是什么，直接套入即可；
- 虚数有点类似python的语法糖，Java的注解，只需要在类和函数旁边加上一个符号，就能自动增加了一个功能；
What is imaginary number？
虚数单位 i 等于负1的平方根；
虚数 = √-1 = i
通过一个二次方程解法问题，引出了虚数的概念
在实数的范围内，X^2+1=0是无解的，这样一来，有的多项式方程有解，有的无解，数学就不完美了。
引入一个虚拟的概念，虚数i，就让所有的方程都变得有解了。更漂亮的是，引入虚数的概念后，所有的一元N次方程都会有N个解，没有例外。
引入虚数的案例
Example，求-9的平方根是什么？
Example, 解 x^2=-1 ,求x
有点绕
虚数在坐标上的作用——旋转
虚数单位 i 有个有趣的属性————旋转。它自乘的积在四个答案里"循环重复"：
Example , 求i^6得多少？
What is complex number?
复数 = z = a+bi
复数的结构
什么是复平面?
复平面是一个由实数轴和虚数轴组成的平面，也称为阿氏平面。在复平面上，实数轴通常被标记为水平轴，虚数轴通常被标记为垂直轴。有时也会将实数轴标记为 x 轴，将虚数轴标记为 y 轴。
视觉介绍：
复数平面是一个平面，在这平面上：
实数从左到右排列，
同时
虚数从下到上排列。
在复平面上，每个复数都可以表示为一个有序数对 (a, b)，其中 a 是实部，b 是虚部。可以将这个有序数对看作是一个向量，它的起点是原点，终点是复平面上的某个点。向量的长度表示了这个复数的模，也就是其绝对值。向量的方向表示了这个复数的幅角，也就是它与正实数轴之间的夹角。
复数的加法和减法可以通过向量的平移来表示，也就是将一个向量平移到另一个向量的位置。复数的乘法可以通过将两个复数对应的向量首尾相接成一个平行四边形，然后计算这个平行四边形的对角线向量，即为两个复数的乘积。通过复平面上向量的运算，我们可以更加直观地理解复数的运算，并且可以方便地进行计算和推导。
Range of numbers
笛卡尔发现虚数出现后，在“直角坐标系”上建立了“复平面”，用公式可表示为：z=a+bi。
在人们没有发现复平面时，人们常常感觉“数不够用。现在，数学家们现己经严格证明，“一切数”都能在复平面中找到，“数的范围”不会再超过复数的范围。
复数就是矢量
可以做运算，
为了避免篇幅过长，这里不详细讲加减、乘除运算，
用到再去查公式就行了，就是需要注意：乘法和除法涉及到共轭概念。
求极型（极坐标）
笛卡儿坐标到极座标转换可以互相转换：
具体公式，我这边不在描述，有需要的同学，问下GPT、查资料。
Application scenarios
人过普通生活时，负数也没什么用，但是负数在理论分析、数据统计中依然非常有用，这是显然的。因此，数域的扩展，不是让它在买菜时有用，而是为了让逻辑更严密、让理论分析更方便。
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波、周期
虚数在交流电路分析中，就非常有用，虚数可以表示幅度和旋转角，这正是正弦波的重要参数。 -
极坐标与应用
虚数作为数学工具最大的用途，可能是便于将直角坐标变成极坐标。
简单地讲，在飞行、航海等场景里，极坐标更方便使用，比如我们说往两点钟的方向飞行 20 公里，这就是极坐标的描述方式。在极坐标的计算中，如果只用实数，非常复杂，如果引入虚数，就极为简单。 -
虚数是解一元三次方程的必须工具；
Reference
https://www.shuxuele.com/numbers/imaginary-numbers.html
https://www.shuxuele.com/numbers/complex-numbers.html
https://www.shuxuele.com/algebra/complex-plane.html