瓜瓜头条

【2023.03.14】Luogu P8813【CSP-J 2022】解密

2023-03-16 19:21 由 Taunting_Wind 发表于 #后端开发

前言：

比赛的时候想出了三种做法，暴力，二分还有数学。额，实测暴力70pts，二分100pts，数学100pts。但是比赛的时候这道题还是保龄了（我才不会告诉你我freopen调试的时候加的注释没有删掉呢，在这写下题解算是警戒和纪念吧（纪念保龄。这里介绍暴力，二分，数学三种做法，不过二分的代码我给删了，先放一下其他大佬的代码吧（当然是照着敲一遍的，我才懒得找人家说明情况

题目：

Luogu:Link

简要：

给定一个正整数 \(k\)，有 \(k\) 次询问，每次给定三个正整数 \(n_i, e_i, d_i\)，求两个正整数 \(p_i, q_i\)，使 \(n_i = p_i \times q_i\)、\(e_i \times d_i = (p_i - 1)(q_i - 1) + 1\)。

输入格式

第一行一个正整数 \(k\)，表示有 \(k\) 次询问。

接下来 \(k\) 行，第 \(i\) 行三个正整数 \(n_i, d_i, e_i\)。

输出格式

输出 \(k\) 行，每行两个正整数 \(p_i, q_i\) 表示答案。

为使输出统一，你应当保证 \(p_i \leq q_i\)。

如果无解，请输出 NO。

样例输入 #1

10
770 77 5
633 1 211
545 1 499
683 3 227
858 3 257
723 37 13
572 26 11
867 17 17
829 3 263
528 4 109

样例输出 #1

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

Step 1 暴力：

额，暴力做法非常简单，照着题意直接敲就好了。用两层For循环分别枚举p和q的话肯定会T得很惨，那么考虑优化。

我们不妨来看看p和q还必须满足什么条件（前置知识：整式的乘除）。

我们已知：

\[e_i \times d_i = (p_i - 1)(q_i - 1) + 1 ; \]

展开就是：

\[e_i \times d_i = p_i \times q_i - p_i - q_i + 1 + 1 ; \]

化简可得：

\[e_i \times d_i = p_i \times q_i - (p_i + q_i) + 2 ; \]

题目中说：

\[n_i = p_i \times q_i ; \]

将 $ n_i $ 代入式中可得：

\[e_i \times d_i = n_i - (p_i + q_i) + 2 ; \]

稍稍变化一下，可以得出：

\[p_i + q_i = n_i - e_i \times d_i + 2 ; \]

怎么样？是不是发现题目中的变量m的范围有用了？这也就证明我们的做法是正确的。其实到这里我们已经很接近正解了，不过呢如果为了节省时间，现在已经可以敲代码了！

代码：

Link 
#include <bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long
using namespace std;
int t;
int n;
int m;
int k;
int l;
int r;
int s;
inline int read(){
	int s=0;
	int w=1;
	char ch;
	ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-'){
			w=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}
inline void write(int s){
	if(s<0){
		putchar('-');
		s=~s+1;
	}
	if(s>9){
		write(s/10);
	}
	putchar(s%10+'0');
	return ;
}
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	t=read();
	while(t--){
		n=read();
		m=read();
		k=read();
		l=n-m*k+2;
        bool a=false;
		for(int i=1;i<=n-m*k+2;i++){
			int j=n-m*k+2-i;
			if(i*j==n&&((i-1)*(j-1)+1==m*k)){
				write(min(i,j));
				putchar(' ');
				write(max(i,j));
				putchar('\n');
                a=true;
				break;
			}
		}
		if(a==false){
			cout<<"NO\n";
		}
	}
	//fclose(stdin);
	//fclose(stdout);
	return 0;
}

实测上面代码赛中70pts，Luogu50pts。

Step2 数学：

额，按照暴力做法继续向下推：

上次写到哪了？嗷对，写到\(p_i + q_i\)了，就是这个式子：

\[p_i + q_i = n_i - e_i \times d_i + 2 ; \]

我们是不是还有\(p_i \times q_i\)？

\[p_i \times q_i = n; \]

连立上面的两个式子（即 $p_i + q_i = n_i - e_i \times d_i + 2 $ 与 \(p_i \times q_i = n\)）可得：

\[p_i - q_i = \pm \sqrt{ (p_i + q_i) ^ 2 - 4 \times p_i \times q_i }; \]

再将我们已经得出的\(p_i + q_i\)和\(p_i \times q_i\)代入式子中得出：

\[p_i - q_i = \pm \sqrt{ (n_i - e_i \times d_i + 2) ^ 2 - 4 \times n_i } \]

整理可得：

\[p_i - q_i = \pm \sqrt{ (n_i - e_i \times d_i) ^ 2 + 4 \times n_i - 4 \times e_i \times d_i + 4 - 4 \times n_i}; \]

整理可得：

\[p_i - q_i = \pm \sqrt{ n_i ^ 2 + e_i ^ 2 \times d_i ^ 2 - 2 \times n_i \times e_i \times d_i + 4 \times n_i - 4 \times e_i \times d_i + 4 - 4 \times n_ig}; \]

整理可得：

\[p_i - q_i = \pm \sqrt{ n_i ^ 2 + e_i ^ 2 \times d_i ^ 2 - 2 \times n_i \times e_i \times d_i - 4 \times e_i \times d_i + 4}; \]

很好，现在我们有了\(p_i + q_i\) 与 \(p_i - q_i\)，不就能求\(p_i\)和\(q_i\)了么：

\[p_i = \frac{n_i - e_i \times d_i + 2 - \sqrt{ n_i ^ 2 + e_i ^ 2 \times d_i ^ 2 - 2 \times n_i \times e_i \times d_i - 4 \times e_i \times d_i + 4}}{2}; \]

\[q_i = \frac{n_i - e_i \times d_i + 2 + \sqrt{ n_i ^ 2 + e_i ^ 2 \times d_i ^ 2 - 2 \times n_i \times e_i \times d_i - 4 \times e_i \times d_i + 4}}{2}; \]

这样的\(p_i\)和\(q_i\)就能满足\(p_i\)比\(q_i\)小了。

额，得出来的\(p_i\)和\(q_i\)若不满足题目要求就是无解的情况啦！

代码：

Link 
#include <bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long
using namespace std;
int t;
int n;
int m;
int k;
int l;
int r;
int s;
int p;
int q;
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m>>k;
		l=n-m*k+2;
        p=(l-sqrt(l*l-4*n))/2;
        q=(l+sqrt(l*l-4*n))/2;
        if(p*q==n||((p-1)*(q-1)+1)==m*k){
			cout<<p<<" "<<q<<"\n";
        }
        else{
        	cout<<"NO\n";
        }
	}
	//fclose(stdin);
	//fclose(stdout);
	return 0;
}

Step3 二分：

二分解法是从暴力的思路继续向下推导的：

话说上面写到了这个式子：

\[p_i + q_i = n_i - e_i \times d_i + 2 ; \]

也就是\(p_i + q_i\)是一定的，那么根据和积原理，\(p_i + q_i\)具有单调性，所以我们就可以使用二分查找枚举\(p_i\)或\(q_i\)来寻找答案啦！

在这里，我们枚举\(p_i\)来找到答案，原因有两点：

  • \(p_i\)是较小值，只需枚举至\(\frac{p_i + q_i}{2}\)就可以得出答案了；

  • 比起q我更喜欢p这个字母；

有不会和积原理的童鞋看这：

参考网：Link
Luogu：Link

（反正我是都没看懂，比赛的时候直接用的二分，根本没考虑单调性，但是还是过了

代码：

Link 
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int k;
int n;
int e;
int d;
int h;
int x;
int sx;
int ef(int l, int r, int n, int m){
	while(l<=r){
		int mid=((l+r)>>1);
		int j=mid*(m-mid);
		if(j==n){
			return mid;
		}
		else{
			if(j<n){
				l=mid+1;
			}
			else{
				r=mid-1;
			}
		}
	}
	return -114514;
}
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	cin>>k;
	while(k--){
		cin>>n>>e>>d;
		h=n-e*d+2;
		sx=ceil(h/2);
		x=ef(1ll,sx,n,h);
		if(x!=-114514){
			cout<<x<<" "<<h-x<<"\n";	
		}
		else{
			cout<<"NO\n";
		}
	}
	//fclose(stdin);
	//fclose(stdout);
	return 0;
}

完结撒花！

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